Accueil › 1ère année Bac › Mathématiques

Mathématiques — Les suites arithmétiques et géométriques

Fiche de cours · 1ère année Bac (toutes filières — matière de l'examen régional pour Lettres & Sciences Humaines). Au programme : reconnaître la nature d'une suite, calculer n'importe quel terme et calculer une somme de termes consécutifs.

Définition

Une suite numérique (un) est une liste de nombres rangés dans un ordre précis : à chaque entier n (0, 1, 2, …) correspond un nombre un, appelé terme de rang n. Le premier terme est noté u0 (ou u1 selon les énoncés).

Une suite est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, appelé raison :

un+1 = un + r

Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q, appelé raison :

un+1 = q × un

Propriétés

Terme général d'une suite arithmétique de raison r :

un = u0 + n × r   et plus généralement   un = up + (n − p) × r

Terme général d'une suite géométrique de raison q :

un = u0 × qn   et plus généralement   un = up × qn−p

Somme des termes d'une suite arithmétique (de u0 à un, soit n + 1 termes) :

S = (nombre de termes) × (premier terme + dernier terme) / 2

Somme des termes d'une suite géométrique de raison q ≠ 1 (de u0 à un) :

S = u0 × (1 − qn+1) / (1 − q)

Sens de variation : une suite arithmétique croît si r > 0, décroît si r < 0, est constante si r = 0. Une suite géométrique de premier terme positif croît si q > 1, décroît si 0 < q < 1, et ses signes alternent si q < 0.

Méthode

Reconnaître la nature d'une suite, en trois réflexes :

  1. Calcule la différence un+1 − un. Si tu obtiens un nombre constant (qui ne dépend pas de n), la suite est arithmétique et ce nombre est sa raison r.
  2. Sinon, calcule le quotient un+1 / un (si aucun terme n'est nul). Si tu obtiens un nombre constant, la suite est géométrique et ce nombre est sa raison q.
  3. Si ni la différence ni le quotient ne sont constants, la suite n'est ni arithmétique ni géométrique : il faut le justifier avec deux contre-exemples numériques (par exemple u1 − u0 ≠ u2 − u1).

Ensuite : écris le terme général avec la formule adaptée, puis réponds à la question posée (valeur d'un terme lointain, somme, seuil…) sans jamais calculer terme à terme.

Exemple corrigé

Énoncé. Un élève dépose 500 DH sur un compte d'épargne jeune, puis ajoute 75 DH chaque mois. On note un le montant total épargné après n mois (u0 = 500).

  1. Calculer u1 et u2.
  2. Justifier que (un) est une suite arithmétique et préciser sa raison.
  3. Exprimer un en fonction de n, puis calculer l'épargne après 2 ans.
  4. Au bout de combien de mois l'épargne dépassera-t-elle 2 000 DH ?

Correction.

1) u1 = 500 + 75 = 575 DH ; u2 = 575 + 75 = 650 DH.

2) Chaque mois, le montant augmente du même ajout de 75 DH : un+1 = un + 75. La suite est donc arithmétique de raison r = 75, de premier terme u0 = 500.

3) Terme général : un = u0 + n × r = 500 + 75n. Après 2 ans, n = 24 : u24 = 500 + 75 × 24 = 500 + 1 800 = 2 300 DH.

4) On résout 500 + 75n > 2 000, c'est-à-dire 75n > 1 500, donc n > 20. L'épargne dépassera 2 000 DH à partir du 21e mois (u20 = 2 000 DH exactement, u21 = 2 075 DH).

Remarque

Les trois erreurs qui coûtent le plus de points : confondre le rang n avec le nombre de termes (de u0 à un, il y a n + 1 termes) ; oublier de vérifier à partir de quel terme commence la suite (u0 ou u1 changent la formule) ; et, pour les suites géométriques, écrire u0 × qn−1 au lieu de qn quand le premier terme est u0. Relis toujours l'énoncé avant d'appliquer une formule.

Pour aller plus loin : la fiche méthode du blog « Suites numériques au BAC » applique ces formules au niveau Terminale, et l'application NajahPro propose des exercices corrigés sur les suites. Tester l'app →